Calculadora Geométrica
Calcule área, perímetro y volumen de formas geométricas como triángulo, cuadrado, rectángulo, círculo.
Fórmulas de geometría y la ley de escala que las gobierna
Todas las fórmulas de área y volumen de esta herramienta obedecen a dos reglas que conviene entender una vez en lugar de memorizar treinta: el área escala con el cuadrado de la longitud y el volumen con el cubo. Ese único hecho explica casi todo lo que resulta sorprendente en los cuerpos geométricos.
Fórmula
Círculo: A = πr² | Rectángulo: A = l x a | Triángulo: A = b x h / 2 | Esfera: V = 4/3 πr³
Todas las fórmulas asumen unidades coherentes. Mezclar centímetros y metros en un mismo cálculo es la fuente de error más común.
La ley del cuadrado-cubo
Si duplica todas las dimensiones de un objeto, su superficie se cuadruplica y su volumen se multiplica por ocho. La relación entre superficie y volumen, por tanto, se reduce a la mitad.
Esto gobierna una sorprendente variedad de comportamientos reales. Los animales pequeños pierden calor deprisa porque su superficie es grande en relación con su masa. Los grandes necesitan patas desproporcionadamente gruesas, porque el peso crece con el volumen mientras que la resistencia del hueso crece con la sección. El hielo picado se derrite antes que un bloque de la misma masa.
En términos de ingeniería significa que no puede ampliarse un diseño multiplicando simplemente todas sus medidas. Una maqueta de puente a escala 1:100 que soporta su propio peso no dice nada sobre si lo hará la estructura real.
Perímetro, área y volumen son independientes
Conocer uno no le da los demás. Dos formas con el mismo perímetro pueden tener áreas muy distintas, y lo mismo ocurre con la superficie frente al volumen.
Para un perímetro dado, el área máxima la alcanza el círculo. Para una superficie dada, el volumen máximo lo alcanza la esfera. Es el principio isoperimétrico, y explica por qué las pompas de jabón son esféricas y por qué los depósitos de almacenamiento tienden a cilindros con altura y diámetro parecidos.
En la práctica: el vallado se pide por perímetro, el césped por superficie y la tierra por volumen. Ninguna de esas magnitudes se deduce de otra.
Fórmulas agrupadas por lo que se mide
- Área en dos dimensiones: círculo πr², rectángulo l x a, triángulo b x h / 2, trapecio (a + b) x h / 2, polígono regular perímetro x apotema / 2.
- Perímetro: círculo 2πr, rectángulo 2(l + a), triángulo a + b + c.
- Volumen: cubo a³, ortoedro l x a x h, cilindro πr²h, cono πr²h / 3, esfera 4/3 πr³, pirámide área de la base x h / 3.
- Superficie: cubo 6a², cilindro 2πr(r + h), esfera 4πr², cono πr(r + generatriz).
- Fíjese en el patrón: los conos y las pirámides son exactamente un tercio del prisma que los contiene, sea cual sea la forma de la base.
Ejemplo resuelto
Un depósito cilíndrico de agua mide 1,2 m de diámetro y 1,8 m de altura. ¿Cuánto contiene y cuánta chapa necesita?
Volumen: r = 0,6, así que V = π x 0,6² x 1,8 = 2,036 m³, es decir 2.036 litros.
Superficie incluyendo ambas tapas: 2πr(r + h) = 2 x π x 0,6 x (0,6 + 1,8) = 9,05 m².
Ahora amplíe el depósito un 25 % en todas sus dimensiones. El volumen aumenta 1,25³ = 1,95, casi el doble, hasta 3.975 litros. La superficie solo aumenta 1,25² = 1,56, hasta 14,1 m². El depósito mayor contiene un 95 % más de agua con un 56 % más de chapa: aquí la ley del cuadrado-cubo juega a su favor.
Qué ocurre al escalar una forma por un factor k
| Propiedad | Escala con | Duplicar (k=2) | Triplicar (k=3) |
|---|---|---|---|
| Longitud, perímetro | k | x2 | x3 |
| Área, superficie | k² | x4 | x9 |
| Volumen, masa | k³ | x8 | x27 |
| Relación superficie/volumen | 1/k | a la mitad | a un tercio |
Preguntas Frecuentes
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Fuentes
Última revisión: 2026-08-08. Esta página es informativa. Para decisiones legales, médicas, fiscales o financieras, valide el resultado con un profesional.